多顶函数求导练习题 - 掌握和差法则与化简技巧
求下列函数的导数 \( \frac{dy}{dx} \)：
\( y = 3x^4 + 5x^2 \)
逐项求导：\( \frac{d}{dx}(3x^4) + \frac{d}{dx}(5x^2) = 3 \cdot 4x^3 + 5 \cdot 2x = 12x^3 + 10x \)
\( y = x^3 - 2x + 7 \)
逐项求导：\( \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(7) = 3x^2 - 2 + 0 = 3x^2 - 2 \)
\( y = 2\sqrt{x} + \frac{3}{x^2} \)（提示：转化为 \( 2x^{\frac{1}{2}} + 3x^{-2} \)）
先转化为指数形式：\( y = 2x^{\frac{1}{2}} + 3x^{-2} \)
求导：\( 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 3 \cdot (-2)x^{-3} = x^{-\frac{1}{2}} - 6x^{-3} \)
化简：\( \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{6}{x^3} \)
\( y = 4x^{\frac{3}{2}} - x^{-1} + 2 \)
逐项求导：\( 4 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - (-1)x^{-2} + 0 = 6x^{\frac{1}{2}} + x^{-2} \)
化简：\( 6\sqrt{x} + \frac{1}{x^2} \)
求下列函数的导数 \( \frac{dy}{dx} \)：
\( y = x^2(x + 3) \)（先展开为 \( x^3 + 3x^2 \)）
先展开：\( y = x^2(x + 3) = x^3 + 3x^2 \)
求导：\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 6x \)
\( y = \frac{x^3 - 4x}{x} \)（\( x \neq 0 \)，化简为 \( x^2 - 4 \)）
先化简：\( y = \frac{x^3 - 4x}{x} = x^2 - 4 \)
求导：\( \frac{dy}{dx} = 2x \)
\( y = \frac{2x + 1}{\sqrt{x}} \)（化简为 \( 2x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} \)）
先化简：\( y = \frac{2x + 1}{\sqrt{x}} = 2x \cdot x^{-\frac{1}{2}} + 1 \cdot x^{-\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} \)
求导：\( 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}} = x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \)
化简：\( \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} \)
\( y = (2x + 1)^2 \)（先展开为 \( 4x^2 + 4x + 1 \)）
先展开：\( y = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \)
求导：\( \frac{dy}{dx} = 8x + 4 \)
求曲线在指定点的梯度（导数在该点的值）：
曲线 \( y = 2x^3 - 3x^2 + 1 \) 在 \( x = 2 \) 处的梯度
1. 求导：\( y' = 6x^2 - 6x \)
2. 代入 \( x = 2 \)：\( y' = 6(2)^2 - 6(2) = 6 \cdot 4 - 12 = 24 - 12 = 12 \)
曲线 \( y = \frac{3}{\sqrt{x}} + x \) 在 \( x = 4 \) 处的梯度（先转化为 \( 3x^{-\frac{1}{2}} + x \)）
1. 求导：\( y' = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}} + 1 = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}} + 1 \)
2. 代入 \( x = 4 \)：\( y' = -\frac{3}{2}(4)^{-\frac{3}{2}} + 1 = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} + 1 = -\frac{3}{16} + 1 = \frac{13}{16} \)
已知函数 \( f(x) = \frac{6}{k\sqrt{x}} + 2x \)（\( k \) 为常数，\( x > 0 \)），且 \( f'(1) = 5 \)，求 \( k \) 的值。
含参数函数求导应用
1. 求导：\( f'(x) = \frac{6}{k} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}} + 2 = -\frac{3}{k\sqrt{x^3}} + 2 \)
2. 代入 \( x = 1 \)：\( f'(1) = -\frac{3}{k} + 2 = 5 \)
3. 解方程：\( -\frac{3}{k} = 3 \)，\( k = -1 \)
多顶函数求导的关键是"将非标准形式（根式、分式）转化为 \( ax^n \)，再用'指数乘系数，指数减1'"。核心是熟练应用幂函数求导规则，包括基本幂函数、复合幂函数和在特定点的梯度计算。
核心法则：对于任何实数 \( n \) 和常数 \( a \)，\( \frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1} \)
掌握多顶函数求导是微积分的基础，它为求解多项式函数导数提供了基本工具。通过练习可以培养代数运算能力和模式识别能力，为后续学习复合函数求导做好准备。